Số Mũ Phức: Xu Hướng và Chu Kỳ Như Một

Quỹ Đạo Dài Hạn

Kết quả trung tâm của cuốn sách này là giá Bitcoin tuân theo luật lũy thừa theo thời gian. Điều chỉnh toàn bộ lịch sử giá theo thang logarit mang lại một mối quan hệ có dạng:

P(t) = a · t^β

trong đó t là số ngày trôi qua kể từ Genesis Block, a là hằng số tỷ lệ, và β ≈ 5.65 là số mũ luật lũy thừa. Trong không gian log–log, đây là một đường thẳng, và sự điều chỉnh với dữ liệu quan sát đạt được R² trên 0.96 trên hơn mười lăm năm lịch sử giao dịch. Phương trình này không phải là một mô hình theo nghĩa tài chính thông thường — nó không đưa ra bất kỳ giả định nào về hành vi nhà đầu tư, chính sách tiền tệ hoặc cấu trúc thị trường. Nó là một quy luật thực nghiệm có độ ổn định phi thường, và lời giải thích của nó nằm trong vật lý của việc áp dụng mạng lưới hơn là trong những chi tiết cụ thể của bất kỳ chu kỳ thị trường nào.

Tuy nhiên, luật lũy thừa không nắm bắt được mọi thứ. Kiểm tra các phần dư — độ lệch thẳng đứng của giá thực tế từ xu hướng được điều chỉnh — tiết lộ cấu trúc không phù hợp với nhiễu ngẫu nhiên. Các thị trường tăng giá lớn vào năm 2013, 2017 và 2021 mỗi lần đều tạo ra độ lệch ngoài xu hướng, tiếp theo là những sự co lại kéo dài về phía xu hướng. Những dao động này không phải là ngẫu nhiên. Chúng là có tính chu kỳ, và thời gian của chúng thể hiện một mô hình đòi hỏi phải giải thích.

Dao Động Tuần Kỳ Logarit

Xác định phần dư là:

r(t) = log₁₀ P(t) − log₁₀ a − β · log₁₀ t

Đại lượng này đo lường, theo đơn vị logarit, mức độ giá nằm trên hoặc dưới xu hướng luật lũy thừa tại bất kỳ thời điểm nào. Khi vẽ biểu đồ so với thời gian dương lịch, phần dư dao động không đều. Nhưng khi vẽ biểu đồ so với logarit tự nhiên của thời gian — tức là so với ln t thay vì t — một điều đáng chú ý xuất hiện: các dao động trở nên gần như tuần kỳ. Chúng giống như một sóng sin, cách đều nhau theo thời gian log.

Đây là dấu hiệu của hàm tuần kỳ logarit. Điều chỉnh các phần dư với mô hình:

r(t) = A + B · cos(ω · ln t + φ)

mang lại ω ≈ 8.89, B ≈ 0.255, và φ ≈ 2.30. Tham số ω là tần số góc log — nó chi phối tốc độ các dao động lặp lại trên trục thời gian logarit. Chu kỳ log ngụ ý là Λ = 2π/ω ≈ 0.707, có nghĩa là các chu kỳ liên tiếp được tách biệt bởi một khoảng cố định trong ln t.

Trong thời gian dương lịch, điều này dịch sang một tỷ lệ tỷ lệ ưu tiên λ = e^Λ ≈ 2.03: mỗi chu kỳ liên tiếp dài gấp khoảng hai lần chu kỳ trước đó. Chu kỳ đạt đỉnh vào năm 2013 kéo dài khoảng một năm; chu kỳ đạt đỉnh vào năm 2017 kéo dài khoảng hai năm; chu kỳ đạt đỉnh vào năm 2021 kéo dài khoảng bốn năm. Sự nhân đôi này không hoàn toàn chính xác, nhưng mức độ gần với hệ số hai không rõ ràng là ngẫu nhiên.

Đại Số của Số Mũ Phức

Mô hình tuần kỳ logarit, được viết dưới dạng cosin và logarit, dường như là một đối tượng khác biệt so với luật lũy thừa. Nó không phải như vậy. Cả hai được thống nhất bởi một tính chất đại số duy nhất đáng để lấy được một cách rõ ràng.

Đối với bất kỳ số thực ω và bất kỳ thời gian dương t, biểu thức t nâng lên lũy thừa iω được xác định thông qua sự mở rộng tiêu chuẩn của hàm mũ:

t^(iω) = e^(iω · ln t)

Điều này dựa trực tiếp từ định nghĩa tˣ = eˣ ʷ ˡⁿ ᵗ, được áp dụng với x = iω. Vế phải là hàm mũ phức, và công thức Euler cho:

e^(iω · ln t) = cos(ω · ln t) + i · sin(ω · ln t)

Phần thực của t^(iω) do đó là cos(ω · ln t) — chính xác là dao động tuần kỳ logarit xuất hiện trong mô hình phần dư. Bây giờ giới thiệu biên độ phức C = B · e^(iφ), mô tả cả biên độ dao động B và pha φ trong một số phức duy nhất. Sau đó:

Re[C · t^(iω)] = Re[B · e^(iφ) · e^(iω · ln t)] = B · cos(ω · ln t + φ)

Pha φ không phải là một tham số thứ ba đứng cạnh B và ω — nó là argument của hằng số phức C. Hai biểu diễn mang theo thông tin giống hệt nhau.

Theo đó, mô hình đầy đủ — xu hướng luật lũy thừa cộng với dao động tuần kỳ logarit — có thể được viết là:

log₁₀ P(t) = log₁₀ a + β · log₁₀ t + A + Re[C · t^(iω)]

Hấp thụ tất cả các hằng số thành một yếu tố tiền tố phức duy nhất C′, và sử dụng thực tế rằng t^β · t^(iω) = t^(β+iω), điều này thu gọn thành:

P(t) = Re[ C′ · t^(β + iω) ]

với số mũ phức được điều chỉnh β + iω = 5.653 + 8.891i. Đây là mô tả hoàn chỉnh về động lực giá của Bitcoin, xu hướng và chu kỳ cùng nhau, trong một biểu thức duy nhất.

Số Mũ Phức Có Ý Nghĩa Gì

Phần thực của số mũ, β = 5.653, chi phối tốc độ tăng trưởng dài hạn. Nó xác định độ dốc của luật lũy thừa tăng lên và liên quan trực tiếp đến tốc độ áp dụng mạng Bitcoin. Phần ảo, ω = 8.891, chi phối động lực dao động. Nó đặt tần số của các chu kỳ tuần kỳ logarit và do đó xác định tỷ lệ λ ≈ 2 mà các chu kỳ liên tiếp kéo dài. Hai phần của một số phức duy nhất mô tả các hiện tượng mà, trên bề mặt, dường như hoàn toàn tách biệt: xu hướng seculiar có thể nhìn thấy trong một thập kỷ, và các chu kỳ tình cảm có thể nhìn thấy trong vài tháng hoặc năm.

Sự thống nhất này không chỉ là ký hiệu. Nó mang theo một ý nghĩa vật lý. Trong cơ học cổ điển, các số mũ phức phát sinh tự nhiên trong các hệ thống thể hiện hành vi dao động xung quanh một trạng thái cân bằng — bộ dao động điều hòa có cản chế, sóng trong phương tiện tiêu tán, và các hệ thống gần các chuyển tiếp quan trọng. Sự xuất hiện của số mũ phức trong bối cảnh động lực giá Bitcoin gợi ý rằng xu hướng và các chu kỳ không phải là các quá trình độc lập mà tình cờ coexist. Chúng là những hình chiếu thực và ảo của một động lực cơ bản duy nhất.

Sự tương tự với các hệ thống quan trọng đặc biệt gợi ý. Didier Sornette và các cộng sự đã chỉ ra rằng các bong bóng tài chính gần một điểm quan trọng — một thời điểm bất ổn tại đó hệ thống ở vị trí giữa tiếp tục tăng trưởng và sụp đổ — generically tạo ra dao động tuần kỳ logarit với tần số tăng tốc. Cấu trúc toán học giống hệt với những gì xuất hiện ở đây, và tỷ lệ tỷ lệ ưu tiên λ ≈ 2 phù hợp với bất biến tỷ lệ rời rạc, một tính chất của các hệ thống xuất hiện tự tương tự dưới rescaling bởi một hệ số cố định hơn là tất cả các hệ số. Trong các hệ thống như vậy, mô hình tuần kỳ logarit không phải là một trang trí chồng lên trên một quỹ đạo hoàn toàn khác: nó là một dấu hiệu của đối xứng cơ bản của quá trình.

Ý Nghĩa Sâu Hơn

Tường thuật thông thường coi thị trường tăng và giảm giá của Bitcoin là các sự kiện được thúc đẩy bởi cảm xúc — những cơn sốt phấn khích và tuyệt vọng làm gián đoạn một quá trình phát hiện giá hợp lý. Quan điểm này không phù hợp với cấu trúc toán học được phát hiện ở đây. Nếu mô hình tuần kỳ logarit duy trì trên các chu kỳ trong tương lai — và dữ liệu hiện tại, bao gồm bốn chuỗi bong bóng và co lại riêng biệt, cung cấp bằng chứng sơ bộ rằng nó có — thì những gì trình bày cho các quan sát viên là sự phấn khích đầy tính chất thiếu lý tính tiếp theo là sợ hãi thực tế là thành phần dao động thông thường của một hệ thống động xác định.

Các bong bóng không phải là những gián đoạn của luật lũy thừa. Chúng là một phần của nó.

Chính xác hơn: giá tại bất kỳ thời điểm nào là phần thực của hàm phức tạp theo thời gian. Xu hướng dài hạn là phần bao của hàm đó, được kiểm soát bởi số mũ thực β. Các chu kỳ là pha của nó, được kiểm soát bởi số mũ ảo ω. Cũng như các phần thực và ảo của một số phức không thể được tách ra mà không phá hủy đối tượng mà chúng mô tả chung, xu hướng và chu kỳ của giá Bitcoin không thể được hiểu đầy đủ cô lập với nhau. Chúng là hai khía cạnh của một thực thể toán học duy nhất: một luật lũy thừa với số mũ phức, được đánh giá tại thời gian thực tại đó quan sát giá.

Liệu cấu trúc này phản ánh điều gì cơ bản về động lực của việc áp dụng mạng nền tảng tiền tệ, hay nó là một quy luật thống kê mà dữ liệu trong tương lai cuối cùng sẽ làm tan biến, vẫn là một câu hỏi mở. Những gì có thể được nói một cách tự tin là dữ liệu có sẵn tính đến thời điểm viết này phù hợp với giả thuyết, và khung toán học mà nó ngụ ý vừa là kinh tế và có động lực vật lý. Một số phức duy nhất, 5.653 + 8.891ι, mã hóa toàn bộ lịch sử giá quan sát được của mạng tiền tệ phi tập trung đầu tiên trên thế giới. Đó là một nén lạc đáng chú ý của mười lăm năm lịch sử tài chính thành hai chữ số và một phương trình.